В тет­ра­эд­ре SABC с реб­ром 24 точка P при­над­ле­жит SC так, что и Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью MNP.

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, если длина бис­сек­три­сы ее ос­но­ва­ния равна и плос­кий угол при вер­ши­не

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед такой, что Через се­ре­ди­ны ребер AA₁ и BB₁ про­ве­де­на плос­кость (см.рис.), со­став­ля­ю­щая угол 60° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да этой плос­ко­стью.

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 10. Пло­щадь его бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Через точку A вы­со­ты SO ко­ну­са про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Опре­де­ли­те, во сколь­ко раз пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди по­лу­чен­но­го се­че­ния, если SA : AO = 2 : 3.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, длина ги­по­те­ну­зы ко­то­ро­го равна 6, ост­рый угол равен 30°. Каж­дая бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом, рав­ным Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

ABCA₁В₁С₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния и бо­ко­вое ребро имеют длину 6. Через се­ре­ди­ны ребер АС и BB₁ и вер­ши­ну A₁ приз­мы про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью.

Куб впи­сан в пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду так, что че­ты­ре его вер­ши­ны на­хо­дят­ся на бо­ко­вых реб­рах пи­ра­ми­ды, а че­ты­ре дру­гие вер­ши­ны  — на ее ос­но­ва­нии. Длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 2, вы­со­та пи­ра­ми­ды  — 6. Най­ди­те пло­щадь S по­верх­но­сти куба. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 4S.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 17, а вы­со­та  — 8 . Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб, длина ребра ко­то­ро­го равна Сфера про­хо­дит через его вер­ши­ны В и D₁ и се­ре­ди­ны ребер BB₁ и CC₁. Най­ди­те пло­щадь сферы S, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ромб, у ко­то­ро­го ко­си­нус угла равен и длина сто­ро­ны равна 16. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под углом α, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 24. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те объем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD, если длины ребер AB и AA₁ равны 4 и 1 со­от­вет­ствен­но, а рас­сто­я­ние точки A₁ до пря­мой CD равно 5.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна и его объем равен Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 16. Плос­кость, па­рал­лель­ная оси ци­лин­дра, пе­ре­се­ка­ет ци­линдр по пря­мо­уголь­ни­ку с пло­ща­дью, рав­ной 120. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где V  — объем ци­лин­дра, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до оси ци­лин­дра равно

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной и углом BAD, рав­ным Ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию, а ребро SB об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол Най­ди­те ра­ди­ус R сферы, про­хо­дя­щей через точки A, B, C и се­ре­ди­ну ребра SB. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния R².

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ромб, у ко­то­ро­го ко­си­нус угла равен и длина сто­ро­ны равна 8. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под углом α, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер A₁B₁ и BB₁ со­от­вет­ствен­но, точка K  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли A₁C грани AA₁C₁C (см. рис.). Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния:

1)  пря­мая NK лежит в плос­ко­сти AA₁B₁;

2)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB;

3)  пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую BC;

4)  пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB;

5)  пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет плос­кость ACC₁;

6)  пря­мая NK па­рал­лель­на плос­ко­сти A₁C₁B₁.

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что пря­мая а пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ет ее в точке О.

1)  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти па­рал­лель­на пря­мой а.

2)  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой а, лежит в плос­ко­сти

3)  Пря­мая а пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой плос­ко­сти

4)  Через пря­мую а про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

5)  Су­ще­ству­ет мно­же­ство плос­ко­стей, пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мой а.

6)  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой а и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

Ответ за­пи­ши­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. На­при­мер: 123.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го AB  =  9, BC  =  12, Най­ди­те длину про­стран­ствен­ной ло­ма­ной ADBC₁ (см. рис.).

Даны две па­рал­лель­ные плос­ко­сти α и β, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно Пря­мая а пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти α и β в точ­ках А и В со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с ними угол 30°. Най­ди­те длину от­рез­ка АВ.